Finite State Automata adalah mesin abstrak berupa sistem
model matematika dengan masukan dan
keluaran diskrit yang dapat mengenali bahasa paling sederhana (bahasa reguler)
dan dapat diimplementasikan secara nyata.
Finite State Automata (FSA) adalah model matematika yang
dapat menerima input dan mengeluarkan output yang memiliki state yang berhingga
banyaknya dan dapat berpindah dari satu state ke state lainnya berdasarkan
input dan fungsi transisi. Finite state automata tidak memiliki tempat
penyimpanan/memory, hanya bisa mengingat state terkini.
Finite State Automata dinyatakan oleh pasangan 5 tuple,
yaitu:
M=(Q , Σ , δ , S , F )
Q = himpunan state
Σ (Sigma) = himpunan simbol input (alfabet)
δ (Delta) = fungsi transisi δ : Q × Σ
S = state awal / initial state , S ∈ Q
F = state akhir, F ⊆ Q
M=(Q , Σ , δ , S , F )
Q = himpunan state
Σ (Sigma) = himpunan simbol input (alfabet)
δ (Delta) = fungsi transisi δ : Q × Σ
S = state awal / initial state , S ∈ Q
F = state akhir, F ⊆ Q
Karakteristik Finite Automata
1.Setiap Finite Automata memiliki keadaan dan transisi yang terbatas.
2.Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non-deterministik.
3.Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
4.Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.
jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.
2.Transisi dari satu keadaan ke keadaan lainnya dapat bersifat deterministik atau non-deterministik.
3.Setiap Finite Automata selalu memiliki keadaan awal.
4.Finite Automata dapat memiliki lebih dari satu keadaan akhir.
jika setelah pemrosesan seluruh string, keadaan akhir dicapai, artinya otomata menerima string tersebut.
Setiap FSA (Finite state automata) memiliki:
1.Himpunan berhingga (finite) status (state)
•Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0.
•Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).
2.Himpunan berhingga simbol masukan
3.Fungsi transisi Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.
•Satu buah status sebagai status awal (initial state), biasa dinyatakan q0.
•Beberapa buah status sebagai status akhir (final state).
2.Himpunan berhingga simbol masukan
3.Fungsi transisi Menentukan status berikutnya dari setiap pasang status dan sebuah simbol masukan.
Cara Kerja Finite State Automata
Finite State Automata bekerja dengan cara mesin membaca memori masukan berupa
tape yaitu 1 karakter tiap saat (dari kiri ke kanan) menggunakan head baca yang
dikendalikan oleh kotak kendali state berhingga dimana pada mesin terdapat
sejumlah state berhingga.
Finite Automata selalu dalam kondisi yang disebut state awal
(initial state) pada saat Finite Automata mulai membaca tape. Perubahan state
terjadi pada mesin ketika sebuah karakter berikutnya dibaca. Ketika head telah
sampai pada akhir tape dan kondisi yang ditemui adalah state akhir, maka string
yang terdapat pada tape dikatakan diterima Finite Automata (String-string
merupakan milik bahasa bila diterima Finite Automata bahasa tersebut).
Contoh :
Pencek parity ganjil
Misal input : 1101
Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin
Misal input : 1100
Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin
Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 1 Ganjil : diterima mesin
Misal input : 1100
Genap 1 Ganjil 1 Genap 0 Genap 0 Genap : ditolak mesin
Dari contoh diatas, maka:
Q = {Genap, Ganjil}
Σ = {0,1}
S = Genap
F = {Ganjil }
Q = {Genap, Ganjil}
Σ = {0,1}
S = Genap
F = {Ganjil }
atau
δ(Genap,0) = Genap
δ(Genap,1) = Ganjil
δ(Ganjil,0) = Ganjil
δ(Ganjil,1) = Genap
δ(Genap,0) = Genap
δ(Genap,1) = Ganjil
δ(Ganjil,0) = Ganjil
δ(Ganjil,1) = Genap
Sebuah FSA (Finite state automata) dibentuk dari lingkaran yang menyatakan state:
• Label pada lingkaran adalah nama state
• Busur menyatakan transisi/ perpindahan
• Label pada busur yaitu symbol input
• Lingkaran yang didahului sebuah busur tanpa label menyatakan state awal
• Lingkaranb ganda menyatakan state akhir/ final.
Jadi sebuah mesin otomata dapat dinyatakan dalam diagram transisi, fungsi transisi dan tabel transisi.
• Busur menyatakan transisi/ perpindahan
• Label pada busur yaitu symbol input
• Lingkaran yang didahului sebuah busur tanpa label menyatakan state awal
• Lingkaranb ganda menyatakan state akhir/ final.
Jadi sebuah mesin otomata dapat dinyatakan dalam diagram transisi, fungsi transisi dan tabel transisi.
Ada dua jenis FSA :
Finite State Automata dapat berupa:
1. Deterministic Finite Automata (DFA) adalah dari suatu state ada tepat
satu state berikutnya untuk setiap simbol masukan yang diterima. Deterministik
artinya tertentu/sudah tertentu fungsi transisinya.
Deterministic finite automata (DFA) -> M = (Q, ∑, δ, S, F), Notasi matematis
DFA dimana:
Q : himpunan state/kedudukan
Q : himpunan state/kedudukan
∑ : himpunan simbol
input
∂ : fungsi
transisi,
dimana ∂ ∈
Q x ∑ -> Q
S : State awal
(initial state)
F : himpunan state
akhir (Final State)
Language -> L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)
Contoh 1:
Diketahui DFA :
Q = {q0, q1, q2} δ
diberikan dalam tabel berikut :
∑= {a, b} S = q0
F = {q0, q1}
L(M) = {abababaa, aaaabab,aabababa,…}
Penelusuran/Tracking:
Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di
atas: abababaa, aaaabab , aaabbaba Jawab
:
δ (q0,abababaa) ⇒
δ (q0,bababaa) ⇒ δ (q1,ababaa) ⇒ δ (q0,babaa) ⇒
δ (q1,abaa) ⇒ δ (q0,baa) ⇒ δ (q1,aa) ⇒ δ (q0,a) ⇒
q0
Tracking berakhir di q0 (state AKHIR) ⇒
kalimat abababaa diterima
Kesimpulan :
Sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya
berakhir di salah satu state AKHIR.
Contoh 2 :
Pengujian
untuk menerima bit string dengan banyaknya 0 genap, serta banyaknya 1 genap.
0011 : diterima
10010 : ditolak, karena banyaknya 0 ganjil
Diagram transisi-nya :
0011 : diterima
10010 : ditolak, karena banyaknya 0 ganjil
Diagram transisi-nya :
DFA nya:
Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }
Σ = {0,1}
S = q0
F = { q0}
Q = {q0 , q1 , q2 , q3 }
Σ = {0,1}
S = q0
F = { q0}
fungsi transisi adalah:
δ(
q0,011) = δ( q2,11) = δ( q3,1) = q2 è Ditolak
δ( q0,1010) = δ( q1,010) = δ( q3,10) = δ( q2,0) = q0 è Diterima.
δ( q0,1010) = δ( q1,010) = δ( q3,10) = δ( q2,0) = q0 è Diterima.
2. Non-deterministic Finite Automata (NFA) adalah dari
suatu state ada 0, 1 atau lebih state berikutnya untuk setiap simbol masukan
yang diterima.
Non Deterministic finite automata (NFA) -> M = (Q, ∑, δ, S, F), dimana :
Q : himpunan
state/kedudukan
∑ : himpunan simbol
input
∂ : fungsi
transisi, dimana ∂ ∈ Q x (∑ 
ε) -> P(Q)
ε) -> P(Q)
P(Q) : set of all subsets of Q
S : State awal
(initial state)
F : himpunan state
akhir (Final State)
Language -> L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)
Non-Deterministic Finite Automata:
• Otomata berhingga yang tidak pasti untuk setiap pasangan state input, bisa
memiliki 0 (nol) atau lebih pilihan untuk state berikutnya.
• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi)
berlabel simbol input yang sama.
• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai
terdapat satu yang mencapai state akhir.
• Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}
• Untuk setiap state tidak selalu tepat ada satu state berikutnya untuk setiap simbol input yang ada.
• Dari suatu state bisa terdapat 0,1 atau lebih busur keluar (transisi)
berlabel simbol input yang sama.
• Untuk NFA harus dicoba semua kemungkinan yang ada sampai
terdapat satu yang mencapai state akhir.
• Suatu string x dinyatakan diterima oleh bahasa NFA, M= (Q, _, d, S, F) bila {x | d (S,x) memuat sebuah state di dalam F}
Kedua finite automata di atas mampu mengenali himpunan
reguler secara presisi. Dengan demikian kedua finite automata itu dapat
mengenali string-string yang ditunjukkan dengan ekspresi reguler secara tepat.
DFA dapat menuntun recognizer(pengenal) lebih cepat
dibanding NDFA. Namun demikian, DFA berukuran lebih besar dibanding NDFA yang
ekivalen dengannya. Lebih mudah membangun NDFA dibanding DFA untuk suatu
bahasa, namun lebih mudah mengimplementasikan DFA dibanding NDFA.
Contoh :
Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana : Q =
{q 0, q1 , q2 ,q3 , q4 }
δ diberikan dalam table berikut :
∑= {a, b,c}
S = q0
F = {q4}
∑= {a, b,c}
S = q0
F = {q4 }
Sebuah kalimat di terima NFA jika:
Salah satu tracking-nya berakhir di state AKHIR, atau
himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR
Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas : ab, abc,
aabc, aabb.
Jawab:
δ(q0 ,ab) ⇒ δ(q0,b) ∪ δ(q1 ,b) ⇒
{q0, q2} ∪ {q1 } = {q0 , q1 , q2}
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒
kalimat ab tidak diterima δ(q0 ,abc) ⇒ δ(q0 ,bc) ∪ δ(q1 ,bc) ⇒
{ δ(q0 ,c) ∪ δ(q2 ,c)}∪δ(q1 , c)
{{ q0 , q3 }∪{ q2 }}∪{ q1 } = {q0
, q1 , q2 ,q3 }
Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR ⇒
kalimat abc tidak diterima.
Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata
Untuk suatu bahasa regular, kemungkinan ada
sejumlah Deterministic Finite Automata yang dapat menerimanya.
Perbedaannya hanyalah jumlah state yang dimiliki otomata-otomata yang
saling ekuivalen tersebut. Tentu saja, dengan alasan kepraktisan, kita memilih
otomata dengan jumlah state yang lebih sedikit.
Sasaran kita di sini adalah mengurangi jumlah state
dari suatu Finite State Automata, dengan tidak mengurangi kemampuannya
semula untuk menerima suatu bahasa.
Ada dua buah istilah baru yang perlu kita ketahui yaitu :
1. Distinguishable yang berarti dapat dibedakan.
2. Indistinguishable yang berarti tidak dapat
dibedakan.
Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekivalen apabila L(M1) = L(M2)
Reduksi Jumlah State Pada FSA
Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa
mengurangi kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula
(efisiensi). State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless
state. Hasil dari FSA yang direduksi merupakan ekivalensi dari FSA semula
Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan:
1. Distinguishable State (dapat dibedakan)
Dua state p dan q dari
suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:
δ(q,w) Î F dan δ(p,w) Î F
atau δ(q,w) ∉
F dan δ(p,w) ∉
untuk semua w Î S*
2. Indistinguishable State ( tidak dapat
dibedakan)
Dua state p dan q
dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada
string w Î S* hingga:
δ(q,w) Î F dan δ(p,w) ∉
F
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Relasi
Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan adalah distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya.
Dalam hal ini terdapat sebuah relasi :
Jika p dan
q indistinguishable,
dan q dan r
indistinguishable
maka p, r
indistinguishable
dan
p,q,r
indistinguishable
Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi :
Untuk Q yg merupakan himpunan
semua state
D adalah himpunan state-state
distinguishable, dimana D Ì Q
N adalah himpunan state-state indistinguishable,
dimana N Ì Q
maka x Î N jika
x Î Q dan x ∉ D
Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step
Langkah - langkah untuk melakukan reduksi ini adalah :
1. Hapuslah semua state yg tidak dapat dicapai dari state
awal (useless state)
2. Buatlah semua pasangan state (p, q)
yang distinguishable, dimana p Î F dan q ∉ F.
Catat semua pasangan-pasangan state tersebut.
Cari state lain
yang distinguishable dengan aturan:
Untuk semua (p, q) dan semua a Î ∑,
hitunglah δ (p, a) = pa dan δ (q, a) = qa . Jika pasangan
(pa, qa) adalah pasangan state yang distinguishable maka
pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable.
Semua pasangan state yang tidak termasuk
sebagai state yang distinguishable merupakan state-state indistinguishable.
Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi
satu state.
Sesuaikan transisi dari state-state gabungan tersebut.
Reduksi Jumlah State Pada FSA
Contoh :
Sebuah Mesin DFA
1. State q5 tidak dapat dicapai
dari state awal dengan jalan apapun (useless state). Hapus
state q5
2. Catat state-state distinguishable, yaitu : q4 Î F sedang q0, q1, q2, q3 ∉ F
sehingga pasangan (q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.
3. Pasangan-pasangan state lain
yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2,
yaitu :
Untuk pasangan (q0,q1) δ(q0, 0) = q1
dan δ(q1, 0) = q2
- belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3
dan δ(q1, 1) = q4
- (q3, q4) distinguishable maka (q0,
q1) adalah distinguishable.
Untuk pasangan (q0, q2) δ(q0, 0) = q1
dan δ(q2, 0) = q1
- belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3
dan δ(q2, 1) = q4
- (q3, q4) distinguishable maka (q0, q2)
adalah distinguishable.
4. Setelah diperiksa semua
pasangan state maka
terdapat state-state yang distinguishable : (q0,q1),
(q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4). Karena
berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1, q3)
dan (q2, q3) distinguishable, sehingga disimpulkan pasangan-pasangan
state tersebut indistinguishable.
5. Karena q1 indistinguishable dengan q2, q2
indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling
indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.
6. Berdasarkan hasil diatas maka hasil dari DFA yang
direduksi menjadi:
Daftar Pustaka :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar